Ja. In Ihrem konkreten Fall ist klar: Weil der Dieb jetzt weiss, zu welcher Wohnung der Schlüssel gehört, besteht die Gefahr eines Einbruchs.

Der Vermieter wird also entweder von sich aus aktiv werden oder die Initiative zum Schlosswechseln Ihnen überlassen. Zahlen müssen Sie die Kosten in jedem Fall.
Ob Ihnen die Handtasche gestohlen wurde oder ob Sie sie aus Unsorgfalt irgendwo liegen liessen, spielt dabei keine Rolle.

Wichtig: Falls Sie eine Privathaftpflicht-Versicherung haben (gerade für Mieterinnen und Mieter sehr empfehlenswert), wird diese die entstandenen Kosten übernehmen - es sei denn, man kann Ihnen grobe Fahrlässigkeit im Umgang mit den Schlüsseln vorwerfen.

(ai)